2019年01月15日更新
【平方完成】デキる生徒は時間をかけない!基本から問題の解き方まで解説
皆さんは平方完成で間違えたり、時間をかけてしまっていませんか?大学入試において平方完成は大問を解くための第一歩、必ずスピーディにできるようにしておきたいものです。本記事では平方完成の基本や時短術、問題の解き方まで一通り解説していくのでぜひ参考にしてください!

平方完成って…?

平方完成とは

$$\begin{align}ax^{2}+bx+c …☆\end{align}$$

の形で表される二次式を

$$\begin{align}a(x-p)^{2}+q\end{align}$$
$$\begin{align}(p=-\frac{b}{2a},q=c-\frac{b^{2}}{4a})\end{align}$$

という式に変形することをいいます。


平方完成の「平方」は2乗という意味です。

平方完成すると必ず( )の2乗が出て、xの項がなくなります。


なぜなくなるかというと、xの項は( )の2乗の中に吸収されているんですよ。


( )を展開するとxの項はちゃんと出てきます。


続いて、平方完成のやり方をみていきましょう。

平方完成のやり方

1.xの係数が1の場合

次の2次式を平方完成したいと思います。

$$\begin{align}x^{2}+4x-9…(※)\end{align}$$

最初に注目するのはxの係数です。


xの係数を2で割った数字を2乗して足します。

$$\begin{align}x^{2}+4x\color{red} {+(4÷2)^2}-9\end{align}$$
$$\begin{align}=x^{2}+4x+4-9…△\end{align}$$
$$\begin{align}x^{2}+4x+4の部分を因数分解すると(x+2)^2となりますね。\end{align}$$

ですが、△は( )の2乗を出すために「4」を足したので、☆と等しくなりません。


☆=△となるためには、足した数字「4」を△から引く必要があります。

$$\begin{align}x^{2}+4x+4\color{red} {-4}-9\end{align}$$
$$\begin{align}=(x+2)^2-13\end{align}$$

これで、☆=△となりました。

ちゃんと平方完成できましたね。


ここまでの流れをまとめて書くと次のようになります。

$$\begin{align}x^{2}+4x-9\end{align}$$
$$\begin{align}=(x^2+4x+4)-4-9\end{align}$$
$$\begin{align}=(x+2)^2-13\end{align}$$

xの係数の半分の2乗を足して引く


これが平方完成の重要ポイントです。


同じ数字を「足して引く」と0になるので一見意味のないように思われるかもしれませんが、足すのは( )の2乗の形をつくるため、引くのはもとの式と等しくするためなので、ちゃんと意味があります。

2.xの係数が1ではない場合

次のようにxの係数が1ではない2次式は、先ほど説明した式変形を行う前にやることが1つ増えます。

$$\begin{align}2x^{2}+12x+1\end{align}$$
$$\begin{align}最初に注目するのは\color{black} {x^{2}}の係数です。\end{align}$$
$$\begin{align}平方完成しやすくするため、\color{red} {x^{2}の係数でx^{2}の項とxの項をまとめます。}\end{align}$$
$$\begin{align}\color{red}{2}x^{2}+12x+1\end{align}$$
$$\begin{align}=2(x^{2}+6x)+1\end{align}$$

次は( )内の式を2乗の形にするために、xの係数を2で割った数字を2乗して、足して引きます。

先ほどと同じ流れですね。

$$\begin{align}=2(x^{2}+6x\color{red}{+(6÷2)^2-(6÷2)^2})+1\end{align}$$
$$\begin{align}=2(x^{2}+6x\color{red}{+9-9})+1\end{align}$$
$$\begin{align}=2 (x^{2}+6x\color{red}{+9})\color{blue} {-9×2}+1\end{align}$$

青色の部分は( )内の「-9」を外に出したものです。


あとは式を整理すれば平方完成となります。

$$\begin{align}=2(x+3)^2-17\end{align}$$

ここまでの流れをまとめて書くと次のようになります。

$$\begin{align}2x^{2}+12x+1\end{align}$$
$$\begin{align}=2(x^2+6x+9-9)+1\end{align}$$
$$\begin{align}=2(x^2+6x+9)-18+1\end{align}$$
$$\begin{align}=2(x+3)^2-17\end{align}$$
$$\begin{align}「\color{black} {x^2の係数でx^2とxの項をまとめる}」\end{align}$$

この1ステップを済ませた後は、どの二次式でも同じように平方完成していきます。

平方完成をカンタンに行う方法

さて、ここまで平方完成の基本的な手順をみてきましたが、時間が限られている試験ではなるべく手間をかけずに平方完成できるようになりたいですよね?


ここでは数学の得意な生徒が実際にやっている平方完成の方法を2つ説明していきたいと思います。

1.( )内を先に完成させる

$$\begin{align}x^2+10x-1\end{align}$$
$$\begin{align}上記の式を平方完成するとなったら、次の2つの数字を計算して出します。\end{align}$$
$$\begin{align}①(x+□)^2の□に入る数字\end{align}$$
$$\begin{align}②(x+□)^2の外に出す数字\end{align}$$

①はxの係数を2で割った数字、つまり10÷2=5です。

②は①で出した数字の2乗、つまり5×5=25です。


①を□に入れ、②を引けば平方完成となります。

$$\begin{align}x^2+10x-1\end{align}$$
$$\begin{align}=(x\color{red} {+5})^2\color{blue} {-25}-1\end{align}$$
$$\begin{align}=(x+5)^2-26\end{align}$$

赤色の部分が①、青色の部分が②にあたります。

最初に説明した手順よりも簡単ですし、早くできそうですよね?


( )の外の部分を暗算してしまえば、たった1行の式で平方完成は終わります。

2.一般式に二次式の値を代入する

$$\begin{align}3x^{2}-8x+5\end{align}$$
$$\begin{align}上記の式はx^{2}の係数が1ではないのでx^{2}の係数でx^{2}とxの項をまとめなければなりませんが、計算がややこしくなりそうです。\end{align}$$


そんな時は冒頭で紹介した一般式を活用します。

平方完成の一般式は

$$\begin{align}ax^{2}+bx+c=a(x-p)^{2}+q\end{align}$$
$$\begin{align}(p=-\frac{b}{2a},q=c-\frac{b^{2}}{4a})\end{align}$$
$$\begin{align}与式からa=3,b=-8,c=5なので\end{align}$$
$$\begin{align}p=-\frac{8}{2×3}=-\frac{4}{3}\end{align}$$
$$\begin{align}q=5-\frac{(-8)^{2}}{4×3}=\frac{15-2×8}{12}=-\frac{1}{12}\end{align}$$
$$\begin{align}∴3x^{2}-8x+5=3(x+\frac{4}{3})^{2}-\frac{1}{12}\end{align}$$

分かりやすいように途中式を書きましたが、p,qの式を覚えていればこちらも1行で平方完成できます。


先に紹介した方法に慣れてきたらあえて一般式を使う必要はありませんが、複雑な式でもカンタンに平方完成できるので覚えておくと便利です。

平方完成の活用(二次関数のグラフの頂点)

高校数学・大学入試において、平方完成はただ二次式を式変形するためだけには使いません。


平方完成した式は二次関数のグラフの頂点(最大値・最小値)を出す時に活用できます。

二次関数のグラフの頂点(最大値・最小値)

二次関数には必ず1つのyの値に対して1つのxの値しかとらない「頂点」があり、頂点の座標はどんな二次関数でも平方完成すれば一発でわかります。

$$\begin{align}例として、y=2x^{2}-4x+1の頂点の座標をもとめてみましょう。\end{align}$$
$$\begin{align}y=2x^{2}-4x+1を平方完成すると\end{align}$$
$$\begin{align}y=2x^{2}-4x+1=2(x-1)^{2}-1というように式変形できますね。\end{align}$$

p=1,q=-1なので頂点座標は(1,-1)とわかりました。

グラフで描くと以下のようになります。

a>0であればグラフは下に凸、頂点座標は最小値。

a<0であればグラフは上に凸、頂点座標は最大値。

となるので、平方完成をすれば二次関数の頂点座標、最大値・最小値がわかるということです。


平方完成は必ず二次関数のグラフに関する問題で使うので忘れないようにしてくださいね!

平方完成に関する問題を解いてみよう

では、ここまで学んだことを使っていくつか問題を解いてみましょう。

計算問題

【問題】

次の2次式を平方完成してください。

$$\begin{align}(1)-x^2+7x-3\end{align}$$
$$\begin{align}(2)3x^2+4x+3\end{align}$$

【解答(1)】

$$\begin{align}まず、x^2の係数でx^2とxの項をまとめます。\end{align}$$
$$\begin{align}-x^2+7x-3\end{align}$$
$$\begin{align}=-(x^2-7x)-3\end{align}$$
$$\begin{align}次にxの係数を2で割った数字から(x-□ )^{2}の形を作り、 その数字を2乗して引きます。\end{align}$$
$$\begin{align}=-(x-\frac{7}{2})^{2}-(\frac{7}{2})^{2}\color{red} {×(-1)}-3\end{align}$$
$$\begin{align}赤色の部分はx^2の係数です。\end{align}$$
$$\begin{align}=-(x-\frac{7}{2})^{2}+\frac{49}{4}-\frac{12}{4}\end{align}$$
$$\begin{align}=-(x-\frac{7}{2})^{2}+\frac{37}{4}\end{align}$$

平方完成ができました。

xの係数の半分の2乗を引くとき、xの2乗の係数をかけ忘れることがよくあるので気をつけてくださいね!

【解答(2)】

この問題は解説なしで解答をみていきましょう。

$$\begin{align}3x^2+4x+3\end{align}$$
$$\begin{align}=3(x^2+\frac{4}{3}x)+3\end{align}$$
$$\begin{align}=3(x+\frac{2}{3})^{2}-(\frac{2}{3})^{2}×3+3\end{align}$$
$$\begin{align}=3(x+\frac{2}{3})^{2}-\frac{4}{3}+\frac{9}{3}\end{align}$$
$$\begin{align}=3(x+\frac{2}{3})^{2}+\frac{5}{3}\end{align}$$

式変形の手順は分かりましたか?

$$\begin{align}\color{black} {「x^2とxの係数に着目して式変形する」}\end{align}$$

このポイントを押さえておけばどんな二次式でも式変形できるようになります。


途中式なしで暗算して出せるようになれば試験で時短できるので、ぜひお手持ちの教科書・問題集で練習してみてください!

二次関数の最大値・最小値問題

最後に、二次関数の最大値・最小値問題も解いておきましょう。

【問題】

$$\begin{align}f(x)=x^2-2(a^2+2a)x+5a^4+4a^3-8a^2-1(a:実数)\end{align}$$

上記の式について、次の値を求めてください。

(1)二次関数y=f(x)のグラフの頂点座標

(2)頂点x座標の最小値

(3)頂点y座標の最小値

$$\begin{align}ただし、t=a^2を用いてもよい。\end{align}$$

【解答(1)】

二次関数のグラフの頂点座標は与式を平方完成すればわかりますね。

$$\begin{align}x^2-2(a^2+2a)x+5a^4+4a^3-8a^2-1\end{align}$$
$$\begin{align}={x^2-(a^2+2a)}^2-(a^2+2a)^2+5a^4+4a^3-8a^2-1\end{align}$$
$$\begin{align}={x^2-(a^2+2a)}^2-(a^4+4a^3+4a^2)+5a^4+4a^3-8a^2-1\end{align}$$
$$\begin{align}={x^2-(a^2+2a)}^2+4a^4-4a^2-1\end{align}$$

よってy=f(x)のグラフの頂点座標は

$$\begin{align}(x,y)=(a^2+2a,4a^4-4a^2-1)\end{align}$$

【解答(2)】

(1)より、頂点x座標は以下のaの二次式だとわかりました。

$$\begin{align}a^2+2a\end{align}$$

二次式の最小値はやはり平方完成すれば求められます。

$$\begin{align}a^2+2a\end{align}$$
$$\begin{align}=(a+1)^2-1\end{align}$$

したがって

$$\begin{align}a^2+2aの最小値は-1です。\end{align}$$

【解答(3)】

(1)より、頂点のy座標は

$$\begin{align}4a^4-4a^2-1\end{align}$$

このaの四次式を問題で与えられたtを用いてtの二次式にします。

$$\begin{align}t=a^2より\end{align}$$
$$\begin{align}4a^4-4a^2-1=4t^2-4t-1\end{align}$$

最小値を出すため、まずは平方完成します。

$$\begin{align}4t^2-4t-1\end{align}$$
$$\begin{align}=4(t^2-t)-1\end{align}$$
$$\begin{align}=4(t-\frac{1}{2})-\frac{1}{4}×4-1\end{align}$$
$$\begin{align}=4(t-\frac{1}{2})-2\end{align}$$

したがって

$$\begin{align} 4a^4-4a^2-1の最小値は-2です。\end{align}$$

まとめ

平方完成を使う問題は大学入試においてよく出題されます。

センター試験はもちろんながら、文系・理系問わず本試験でも出ます。


ただ、大学入試で平方完成だけで取れる点数はわずかで、二次関数の最大値・最小値などが問題のメインです。


なので、平方完成の式変形に時間をかけている暇はありません。


平方完成を早く出来るようにするためには何度も練習を重ねるのが一番なので、本記事で学んだことを活用してどんどん練習していってくださいね!

この記事の執筆者
スタモ編集部
最高の学習をもっと身近に、どこでも。スタモ編集部は、大学受験や日々の勉強に役立つ記事を発信しています。予備校講師や塾講師の経験のある東大、京大、早慶の卒業者メンバーが中心に、どこよりも詳しく、どこよりも丁寧な内容をお届けいたします。
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