2019年01月24日更新
階差数列とは?一般項の求め方とその例題について解説!
階差数列を知っていますか?一見規則性のない数列の一般項を求める際に使われる手法の一つです。等差数列や等比数列などあらかたの知識事項を覚えた後の次のステップとして登場し、それらの知識をすべて使って一般項を求めていくことになるため、やり方を知らないとなかなか苦戦してしまう分野です。今回は階差数列を用いた一般項の求め方とその例題について解説します。

階差数列とは?一般項の求め方とその例題について解説!

階差数列とは

$$\begin{align}数列{a_n}の階差数列は,{b_n}={a_{n+1}}-{a_n}と表されます。\end{align}$$
$$\begin{align}このとき,数列{a_n}の(n\geqq2)一般項は,\end{align}$$
$$\begin{align}a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k と表されます。\end{align}$$
$$\begin{align}階差数列の考え方は,一般項を求める際に{a_n}単体では規則性が見出されないときに用います。\end{align}$$

 

具体的には次のように表されます。

$$\begin{align}このように{a_n}からより簡単な{b_n}をもとめ、数列のパターンを探っていきます。\end{align}$$

それでは実際に階差数列が成り立つ過程を見てみましょう。

その前に階差数列に必要な前提知識として、等差数列・等比数列のルールについて確認します。

 

等差数列・等比数列の確認

まず等差数列から確認しましょう。

等差数列とは隣り合う数同士の差が一定の数列です。

例えば2,4,6,8,10…という数同士の差が2の、4,7,10,13,16…は隣り合う数同士の差が3の等差数列です。

この等間隔の差を“公差”と呼び、上の例では「2,4,6,8,10…は公差2の数列」、「4,7,10,13,16…は公差3の数列」といった言われ方をします。

またこの時の最初の項を初項と呼びます。

 

$$\begin{align}初項をa_1、公差をdとしたとき、n番目の項a_nは、\end{align}$$
$$\begin{align}a_n=a_1+(n-1)d\end{align}$$

と表すことができます。

 

実際に上で用いた数をこの一般式に当てはめると、

$$\begin{align}2,4,6,8,10… a_n\end{align}$$
$$\begin{align}{a_n}は初項2,公差2の等比数列である。\end{align}$$
$$\begin{align}a_n=a_1+(n-1)d\end{align}$$
$$\begin{align}a_1=2,d=2だから\end{align}$$
$$\begin{align}a_n=2+(n-1)2\end{align}$$
$$\begin{align} =2n\end{align}$$

 

また

$$\begin{align}4,7,10,13,16… a_n\end{align}$$
$$\begin{align}{a_n}は初項4,公差3の等比数列である。\end{align}$$
$$\begin{align}a_n=a_1+(n-1)d\end{align}$$
$$\begin{align}a_1=4,d=3だから\end{align}$$
$$\begin{align}a_n=4+(n-1)3\end{align}$$
$$\begin{align} =3n+1\end{align}$$

 

どちらの数列も上のように表すことができます。

 

一方、等比数列は隣り合う数同士の比が一定の数列です。

例えば2,4,8,16,32…や4,12,36,108,324…といった数列がこれに当たります。

この場合、2,4,8,16,32…では2倍ずつ、4,12,36,108,324…では3倍ずつの繰り返しで並んでいることがわかりますね、

このn倍の値を公比と呼び、上の例では「2,4,8,16,32…は公比2の数列」、「4,12,36,108,324…は公比3の数列」といった呼ばれ方をします。

また等差数列と同様に、最初の項を初項と呼びます。

 

一般式に表すと、

$$\begin{align}初項a,公比をrとしたとき、n番目の項a_nについて\end{align}$$
$$\begin{align}a_n=ar^{n-1}\end{align}$$

と表すことができます。

 

上の例をこの一般式に当てはめると

$$\begin{align}2,4,8,16,32… a_n\end{align}$$
$$\begin{align}{a_n}は初項2,公比2の等比数列である\end{align}$$
$$\begin{align}a_n=ar^{n-1}\end{align}$$
$$\begin{align}a=2,r=2\end{align}$$
$$\begin{align}a_n=2\cdot2^{n-1}\end{align}$$
$$\begin{align} =2^{n}\end{align}$$

 

またもう一方についても

$$\begin{align}4,12,36,108,324… a_n\end{align}$$
$$\begin{align}{a_n}は初項4,公比3の等比数列である。\end{align}$$
$$\begin{align}a_n=ar^{n-1}\end{align}$$
$$\begin{align}a=4,r=3\end{align}$$
$$\begin{align}a_n=4\cdot3^{n-1}\end{align}$$

 

このように表されます。

それでは上のルールを用いて、実際に階差数列の一般項についても見てみましょう。

 

階差数列を用いてもとの数列の一般項を求める

それでは階差数列を用いたもとの数列の一般項を求める公式について見ていきます。

 

$$\begin{align}基本的に数列{a_n}の階差数列は{b_n}とあらわされます。\end{align}$$
$$\begin{align}ここで先に説明したように、{b_n}とは数列{a_n}の隣り合う数同士の差であるため、\end{align}$$

以下のように表されます。

$$\begin{align}b_1=a_2-a_1\end{align}$$
$$\begin{align}b_2=a_3-a_2\end{align}$$
$$\begin{align}b_3=a_4-a_3\end{align}$$

$$\begin{align}b_{n-1}=a_{n}-a_{n-1}\end{align}$$

これらをすべて足し合わせると、

$$\begin{align}b_1+b_2+b_3+…+b_{n-1}=a_n-a_1 (n\geqq2)\end{align}$$

と表されます。

よって

$$\begin{align}a_n-a_1=b_1+b_2+b_3+…+b_{n-1}\end{align}$$
$$\begin{align}a_n=a_1+ b_1+b_2+b_3+…+b_{n-1}\end{align}$$
$$\begin{align} =a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k\end{align}$$
$$\begin{align}ここでb_nの和が1から(n-1)までであることに注意が必要です。\end{align}$$
$$\begin{align}そのため(n\geqq2)という条件付きで書かれます。\end{align}$$
$$\begin{align}実際に計算で求める際には、(n\geqq2)と(n=1)の2つの場合分けで\end{align}$$

求めていくことになります。

具体的な数で一度演習しながら見ていきましょう。

 

次の数列の一般項を求めなさい。

$$\begin{align}4,7,12,19,28……\end{align}$$

 

この数列の規則性を探してみましょう。

しかし一見したところ等差数列でも等比数列でもなく、規則性が見いだせません。

そこで階差数列を使います。

$$\begin{align}もとの数列を{a_n},階差数列を{b_n}とおきます。\end{align}$$
$$\begin{align}{a_n}=4,7,12,19,28…、この数列の隣り合う数の差をとって階差数列{b_n}を導きます。\end{align}$$
$$\begin{align}{b_n}=[7-4],[12-7],[19-12],[28-19]…=3,5,7,9…\end{align}$$
$$\begin{align}よって階差数列{b_n}=3,5,7,9…。\end{align}$$
$$\begin{align}この数列{b_n}は初項3,公差2の等差数列であるため、\end{align}$$
$$\begin{align}b_n= b_1+(n-1)d\end{align}$$
$$\begin{align} =3+(n-1)\cdot2\end{align}$$
$$\begin{align} =2n+1\end{align}$$
$$\begin{align}階差数列{b_n}が求まったため、ここからこの{b_n}を用いて、\end{align}$$
$$\begin{align}もとの数列{a_n}の一般項を求めていきます。\end{align}$$
$$\begin{align}(a) n\geqq2のとき\end{align}$$
$$\begin{align}a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k\end{align}$$
$$\begin{align}もとの数列における初項a_1は4、\end{align}$$
$$\begin{align}b_kには先ほどのb_nの一般項の文字を変えて当てはめます。\end{align}$$
$$\begin{align}a_n=4+\sum_{k=1}^{n-1}(2n+1)\end{align}$$
$$\begin{align} =4+2\cdot\frac{(n-1)n}{2}+1\cdot(n-1)\end{align}$$
$$\begin{align} =4+(n-1)n+n-1\end{align}$$
$$\begin{align} =n^2+3\end{align}$$
$$\begin{align}(b) n=1のとき\end{align}$$
$$\begin{align}a_1=1^2+3=4\end{align}$$
$$\begin{align}これは初項a_1に一致する。\end{align}$$
$$\begin{align}(a)(b)より、n\geqq1のとき\end{align}$$
$$\begin{align}a_n=n^2+3\end{align}$$

 

上のような手順で一般項が求められました。

このように規則性の見つからなかった数列の一般項はその階差数列が、等差数列・等比数列のいずれかになっているかを調べれば,求められます。

場合分けについて忘れないように心がけましょう。

それでは例題をいくつかといてみましょう。

 

例題

問.

 次の数列の一般項をそれぞれ求めよ。

$$\begin{align}(1)3,7,15,27,43…\end{align}$$
$$\begin{align}(2) 3,5,11,29,83…\end{align}$$

解答.

$$\begin{align}(1) 3,7,15,27,43…\end{align}$$
$$\begin{align}この数列を{a_n}とおき、階差数列{b_n}を求めます。\end{align}$$

隣り合う数同士の差を求めましょう。

$$\begin{align}{b_n}=4,8,12,16…\end{align}$$
$$\begin{align}この数列{b_n}は初項4,公差4の等差数列であるため、\end{align}$$
$$\begin{align}b_n= b_1+(n-1)d\end{align}$$
$$\begin{align} =4+(n-1)\cdot4\end{align}$$
$$\begin{align} =4n\end{align}$$
$$\begin{align}{a_n}の初項は3、したがって{a_n}の一般項は、\end{align}$$
$$\begin{align}(a)n\geqq2のとき、\end{align}$$
$$\begin{align}a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k\end{align}$$
$$\begin{align} =3+\sum_{k=1}^{n-1}4k\end{align}$$
$$\begin{align} =3+4\frac{(n-1)n}{2}\end{align}$$
$$\begin{align} =3+2(n-1)n\end{align}$$
$$\begin{align} =2n^2-2n+3\end{align}$$
$$\begin{align}(b)n=1のとき\end{align}$$
$$\begin{align}a_1=2^2-2\cdot2+3=3\end{align}$$
$$\begin{align}これは初項a_1に一致する。\end{align}$$
$$\begin{align}(a)(b)より、n\geqq1のとき\end{align}$$
$$\begin{align}a_n=2n^2-2n+3\end{align}$$

 

よって求める数列の一般項は

$$\begin{align}a_n=2n^2-2n+3\end{align}$$



$$\begin{align}(2)3,5,11,29,83…\end{align}$$
$$\begin{align}この数列を{a_n}、階差数列を{b_n}とする。\end{align}$$
$$\begin{align}このとき、階差数列{b_n}を求めると、\end{align}$$
$$\begin{align}{b_n}=2,6,18,54…\end{align}$$
$$\begin{align}この数列は初項2,公比3の等比数列である。よって、\end{align}$$
$$\begin{align}b_n=br^{n-1}\end{align}$$
$$\begin{align}b_n=2\cdot3^{n-1}\end{align}$$
$$\begin{align}{a_n}の初項は3、したがって{a_n}の一般項は、\end{align}$$
$$\begin{align}(a) n\geqq2のとき\end{align}$$
$$\begin{align}a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k\end{align}$$
$$\begin{align} =3+\sum_{k=1}^{n-1}2\cdot3^{k-1}\end{align}$$
$$\begin{align} =3+\frac{2(3^{n-1}-1)}{3-1}\end{align}$$
$$\begin{align} =3+3^{n-1}-1\end{align}$$
$$\begin{align} =3^{n-1}+2\end{align}$$
$$\begin{align} (b) n=1のとき \end{align}$$
$$\begin{align}a_1=3^0+2=3\end{align}$$
$$\begin{align}よってこれは初項a_1に一致する。\end{align}$$
$$\begin{align}(a)(b)より、n\geqq1のとき\end{align}$$
$$\begin{align}a_n=3^{n-1}+2\end{align}$$

 

よって求める数列の一般項は

$$\begin{align}a_n=3^{n-1}+2\end{align}$$



まとめ

階差数列を用いた一般項の公式の求め方とその例題について紹介しました。

数列の問題は、出された数同士をよくみてその規則を導くという問題しか出ないため、いくつかのパターンで解けてしまいます。

いくつも問題に解きなれることで、自分の中でパターンを掴んで、スラスラ解けるように定期テストなど本番に備えましょう!

この記事の執筆者
スタモ編集部
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