2019年01月17日更新
接弦定理は3つの証明をおさえれば自由自在!練習問題付!
接弦定理の3つの証明方法を抑えよう!この記事では接弦定理の基本、接弦定理の逆などを図解でわかりやすく解説していくので、接弦定理について不安な方はぜひ活用してみてください。 最後でとりあげる問題が解けるようになれば、接弦定理の基本は完璧です!

はじめに

接弦定理には3つの証明方法があることを知っていますか?

3つの証明方法をしっかりおさえておけば、接弦定理を用いる問題で困ることはありません。


大学入試では接弦定理だけを扱うような問題はありませんが、図形問題で角度を求める時や相似・合同証明で接弦定理を用いることはよくあります。


この記事では接弦定理の基本、接弦定理の逆などを図解でわかりやすく解説していくので、接弦定理について不安な方はぜひ活用してみてくださいね。


最後でとりあげる問題が解けるようになれば、接弦定理の基本は完璧です!

接弦定理とは...?

接弦定理とは、「円の接線と弦がつくる角はその弦に対する円周角に等しい」というものです。


文字だとちょっと分かりづらいですよね?

図形で定理の内容を詳しくみていましょう。




接弦定理に必要な要素は次の3つです。

①円

②弦

③弦の一点を通る円の接線

この3要素で作られる図において、∠BAT=∠ACBとなるのが接弦定理です。

言葉に置き換えると、∠BATは「接線Tと弦ABが作る角」、∠ACBは「弦ABの円周角」となりますね。


ちなみに、∠BATは先に挙げた3要素を満たして作られていれば、鋭角、鈍角、直角どの場合でも∠ACBと等しくなります。




接弦定理の証明

続いて、なぜ接弦定理が成り立つのかみていきましょう。

接弦定理の証明は先に説明した∠BAT(接線と弦が作る角)を次の3パターンに分けて行います。

  1. 鋭角の場合
  2. 直角の場合
  3. 鈍角の場合


1.∠BATが鋭角の場合

【証明のポイント】

・接点Aと円の中心Oを直線で結ぶ補助線を書く。

・補助線と弦ABで作った三角形の1角と、弦に対する円周角を円周角の定理でつなげる。

【証明】

直線AOと円との交点で、点Aでない点をDとする。

線分ADは円Oの直径となることから

∠DBA=90°(直径が弦となる円周角の角度は90°)

∠DAB+∠ADB=180°-∠DBA=90°…①

また、直線ATは円Oに点Aで接していることから

∠DAT=∠DAB+∠BAT=90°…②

①、②より

∠DAB+∠ADB=∠DAB+∠BAT

∠ADB=∠BAT…③

∠ADBは孤ABに対する円周角であるから、円周角の定理より

∠ADB=∠ACB…④

③、④より

∠BAT=∠ACB(接弦定理)

が成り立つ。

円に関連する角度の証明で細かい情報がないときは、『直径を弦とする円周角の角度は90°』『同じ弦を持つ円周角は等しい』といった性質が切り口に使えますよ。

2.∠BATが直角の場合

【証明のポイント】

・「直径に対する円周角は90°」を利用する。

【証明】

円の接線は接点を通る直径に垂直であるから

∠BAT=90°より、線分BAは円Oの直径だといえる。

また、直径に対する円周角は90°であるため

∠BCA=90°

ゆえに、∠BAT=∠BAC(接弦定理)が成り立つ。

2.∠BATが鈍角の場合

【証明のポイント】

・「三角形の内角の和」と「直線」は180°。

・すでに証明した「鋭角の場合の接弦定理」を利用する。

【証明】

三角形ABCにおいて、三角形の内角の和は180°であることから

∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°

∠ABC=180°-∠ACB+∠BAC…①

また、接線上でAに関して反対側に点T´をとった場合

∠TAT´=∠BAT+∠BAC+∠CAT´=180°(TT´は直線)

∠CAT´=180°-∠BAT+∠BAC…②

ここで、鋭角の場合の接弦定理より

∠ABC=∠CAT´

①、②より

180°-∠ACB+∠BAC

=180°-∠BAT+∠BAC

よって、∠BAT=∠ACB(接弦定理)

が成り立つ。

接弦定理の逆もおさえておこう

接弦定理の逆は以下のとおりです。

『円の弧 AB と半直線 AT が直線 AB に関して同じ側にあって,弧 AB に対する円周角 ACB が BAT に等しいとき,直線 AT は 点 A で円に接する。』

言葉と一緒に視覚的なイメージもあわせれば、一発で理解できます。

【証明】

円Oに内接する△ABCにおいて、∠ACB=∠BAT となるようにABと同じ側に半直線ATをとる。

点Aを通る円Oの接線を引き、ABと同じ側の接線上にT´をとると、

接弦定理より

∠ACB=∠BAT´

ゆえに

∠BAT=∠BAT´

2点T、T´は線分ABに関して同じ側にあるので、ATとAT´は一致する。

したがった、直線ATは点Aにおいて円Oと接する。(証明終)


接弦定理の逆が定期テストレベルで出るとすれば、上記の証明ぐらいです。

大学入試の個別試験でもほとんど見かけることはないので、「こういうものなんだ」と理解しておくだけでいいでしょう。

接弦定理の使い方・目的・デメリット

では、実際の使い方をみていきます。

まずは簡単な例題をチャレンジしてみてください。1分以内に解ければ上出来です!

【解答&解説】

接弦定理より、

∠x=65°

∠y=45°


∠xはどの弦で作られているか、∠yを作る弦に対する円周角がどこなのかをチェックすれば簡単に答えがわかりますね。

例題(基本)

【解答&解説】

∠xは四角形PABCの1角ですが、円の中にあるので△ABCを作れば接線定理で解けます。また、円に2つの接線が引いてある時は、「円の外部の点から引いた2本の接線の長さは等しい」という定理を思い出しましょう。

(以下解答)


PA=PBであることから、△PABは二等辺三角形である。

二等辺三角形の2つの底角は等しいので、

∠PAB=∠PBA

三角形の内角の和が180°であることから、

∠APB+∠PAB+∠PBA=180°

∠PAB+∠PBA =180°-30°

2∠PBA=150°

∠PBA=75°

接弦定理より、∠PBA=∠xであるため、

∠x=75°

例題(応用)


【解答&解説】

情報が少ないので一見難しそうですが、接弦定理を利用することで角を使った相似証明ができます。

(以下解答)

△ACDと△CBDにおいて、接弦定理より、

∠CAD=BCD…①

また、

∠ADC=∠CDB(共通)…②

①、②より、2組の角がそれぞれ等しいので、

△ACD∽△CBDといえる。

まとめ

接弦定理に必要な3要素をおさらいすると、以下のとおりです。


■円

■弦

■弦の1点を通る円の接線


これら3要素がそろっている図形において、接弦定理は角度を求める時や角を使った相似・合同証明などに利用できます。


なので、「角に関する情報がほしい!」となったら接弦定理を思い出してみてくださいね。

この記事の執筆者
スタモ編集部
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