2019年01月17日更新
中点連結定理について詳しく解説!【問題付き】
中点連結定理とは三角形において辺上にある2つの中点から、平行と辺の大きさがそれぞれ導き出せる公式です。本記事で復習していきましょう!

はじめに

中点連結定理とは三角形において辺上にある2つの中点から、平行と辺の大きさがそれぞれ導き出せる公式です。


中点連結定理だけを用いる問題は少なく、応用問題などの複合的な事項で取り上げられることがあります。


しかし受験生にとって馴染みの薄い公式であるため、簡単であるにもかかわらずうっかり忘れてしまっている場合も多いようです。


本記事では中点連結定理の求め方と実際の問題での扱い方について解説していきます。

中点連結定理とは

中点連結定理とは以下のような定式です。


\(△ABC\)において、\(M\),\(N\)がそれぞれ\(AB\),\(BC\)の中点のとき、


\(MN//BC\)

\(MN=\frac{1}{2}BC\)


が成り立つ。


またその逆も成り立ちます。

\(△ABC\)において、


\(MN//BC\)

\(MN=\frac{1}{2}BC\)


ならば、

\(M\),\(N\)は,それぞれ\(AB\),\(BC\)の中点である。


中点連結定理は、相似の中に含まれる項目で、平面図形の問題において辺の長さを求める際に利用されます。


証明には平行四辺形を用います。

定理の算出に移る前にまず土台となる平行四辺形の性質について確認しましょう。

平行四辺形の性質

中点連結定理の証明に必要な平行四辺形の性質、どのようなときに平行四辺形が成り立つのかについて確認します。


平行四辺形とは「2組の向かい合う辺が、それぞれ平行な四角形」のことを指します(平行四辺形の定義)。


平行四辺形の性質と呼ばれるものは3つ存在します。


1.平行四辺形の向かい合う辺(対辺)は等しい。

2.平行四辺形の向かい合う角(対角)は等しい。

3.平行四辺形の対角線は、それぞれの中点で交わる。


今回の証明ではこの平行四辺形の性質3.を用いて、中点連結定理が成り立つことを確認します。

定理の導出

それでは実際に中点連結定理が成り立つ過程を見てみます。


はじめに\(△ABC\)と\(AB\),\(BC\)上の中点\(M\),\(N\)を仮定します。


このとき、\(M\),\(N\)は\(BC\)上の中点であるため、


\(AN=NC\)


\(NC\)から延長した直線上にMN=NDとなる点Dを取ります。


ここで点A,M,C,Dをつないで四角形ができました。


この四角形について

\(AN=NC\)


\(MN=ND\)

から


対角線がそれぞれの中点で交わるため、四角形AMCDは平行四辺形であることが言えます。


このことから、平行四辺形の定義・性質「2組の向かい合う辺は平行」「向かい合う辺は等しい」より


\(AM=DC\)

\(AM//DC\)


M,NはAB,BC上の中点であるため、


AM=MB


よって


\(MB=DC(=AM)\)

\(MB//DC(=AM)\)


以上の2つから

向かい合う一組の辺が平行で等しいため、四角形MBCDは平行四辺形である。


平行四辺形の性質より

MD//BC

MD=BC


また点DはMNから延長した直線上でMN=NDとなるように取られた点であるため、


\(MN=\frac{1}{2}MD\)


よって


\(MN//BC,MN=\frac{1}{2}MD\)


である。


以上の過程から、「ある三角形の2辺の中点を結んだ線分は、もう一方の辺の倍である」ということが証明できました。

この法則を中点連結定理と呼びます。

また逆に、「ある三角形の内部にある線分が、その線分と交わらないもう一方の辺の倍であったとき、内部の線分は三角形の2辺の中点同士を結んだものである」ということもできます。

例題

それでは実際に中点連結定理を用いた問題について解いてみましょう。

平面図形における中点連結怜悧の問題

はじめに平面における中点連結定理を用いた問題についてみていきます。


問.\(AD=6,BC=16\)となる四角形\(ABCD\)がある。この四角形\(ABCD\)の対角線を結び、それぞれの対角線を\(AC,DB\)とする。またこの四角形に\(BC\)と平行な直線\(EF\)を引いたとき、対角線\(AC.DB\)と交わる点をそれぞれ\(G,H\)として、交わってできた線分\(HF=3\)とした。このときの\(GH\)の大きさを求めよ。


解答.

この問題はまず問題をみたときに正しく作図できるか、そしてその中から中点連結定理を適用できる三角形を見つけられるかがポイントです。

問題文をもとにこの図についてみていきましょう。


はじめに\(AD//BC\)となることから、

四角形\(ABCD\)は、\(AD-6,BC=16\)となる台形である。


\(BC\)と平行な直線\(EF\)より


\(AD//BC//EF\)


ここで対角線\(AC\)と\(CD.DA\)からなる\(△ACD\)に注目します。


\(AD//HF\)より


\(AD//EF\)


仮定\(AD=6,HF=3\)より


\(HF=\frac{1}{2}AD\)


よって\(△ACD\)には中点連結定理が成り立つことが確認できます。


そして中点連結定理の逆を利用して、


\(H,F\)は\(AC,DC\)それぞれの中点であることがわかります。

(\(DF=FC,AH=HC\)


\(EF//BC\)より

点FがDCの中点であることから同様に、

点GもBDの中点であることが言えます。


よって△DBCにおいても

GF\\BC、DF=FC、DG=GBより

中点連結定理が成り立ちます。


よって

\(GF=\frac{1}{2}BC\)

\(=8\)


さらにGH=GF-HFであるから


\(GH=GF-HF\)

\(=5\)


以上の解法からGH=5であることが求まります。

立体図形における中点連結定理の問題

次に立体図形を用いた中点連結定理の問題についてみてみましょう。。


問.正四面体O‐ABCがある。この正四面体のOA,OB,BC,ACの中点をそれぞれP,Q,R,Sとする。このときそれぞれの点を結んでできた四角形PQRSについて、

(1)四角形PQRSはどのような形か、(2)また一辺の長さを8としたとき、その面積の値はいくつか、についてそれぞれ求めよ



解答.

(1)

はじめに正四面体という図形について確認します。

正四面体とは4つの正三角形からなる図形です。よってすべての辺の長さが同じであるという特徴を持ちます。

このことから上の問題を問いてみましょう。


\(△OAB\)において

P,QはOA,OBのそれぞれの中点であるから

中点連結定理より

\(PQ=\frac{1}{2}AB\)


また同様に中点連結定理を用いて

点Q,RはそれぞれOB,BCの中点であることから

\(QR=\frac{1}{2}OC\)


点R,SはそれぞれBC,ACの中点であることから

\(RS=\frac{1}{2}AB\)


点S,QはそれぞれAC,OAの中点であることから

\(SP=\frac{1}{2}OA\)


このときO‐ABCは正四面体であることから

正四面体のすべての辺の長さが同じであることより、

AB=OC=OA

よって


\(\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}OA\)

\(PQ=QR=RS=SP\)…(1)


よって4辺の長さがすべて等しい四角形であることがわかりました。


4辺の長さがすべて等しい四角形はひし形、あるいは正方形です。

ひし形は、隣り合う角の大きさと対角線の大きさが異なる四角形。

正方形は、すべての角の大きさが等しく、対角線の大きさが等しい四角形と定義されます。

このどちらに該当するか確認するため、この問題では対角線の大きさに着目して解いていきます。


まず\(△ORP\)と\(△AQS\)で

正四面体の各面はそれぞれ正三角形であることから、

OP=AS

また同様にそれぞれの三角形の点(O,A)から中点(R,Q)に引いた直線も等しいから、

OR=AQ

同様に間の角に関しても等しいことが言えるため、

∠PAR=∠SBQ

よって2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから


△ORP≡△AQS


△ORP,△AQSが合同であることから

合同な図形の対応する辺より

PR=SQ…(2)


(1)(2)より

4辺すべての辺の長さが等しく、対角線の長さも等しいため

四角形PQRSは正方形である。


(2)

正四面体の1辺の長さが8である。

OA=OB=OC=AB=8


OABのP,QはOA,OBの中点であることから

中点連結定理を用いて、

PQ=1/2AB

     =12*8

     =4


(1)より

四角形PQRSは正方形であることから

PQ=QR=RS=SP=4

四角形PQRSは一辺が4の正方形である。


よって

4*4=16

PQRSは面積16の四角形である。

おわりに

ここまで中点連結定理の導出と実際に公式を用いた問題の解き方について解説しました。


図形や立体の中から特定の公式に当てはめるための形を探し出すには、公式の理解以上に一定のなれが必要です。


特に「立体図形における中点連結定理の問題」ではかなり応用的な内容を扱いました。


しかし基本事項を押さえ、問題にときなれていけば公式を当てはめるだけでスラスラ解いていくことが可能です。


この記事を読み終わった後も見直し・復習をしっかりとして試験本番の対策につなげてくださいね。

この記事の執筆者
スタモ編集部
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